E (ल्याःज्या)

e छगू गणितीय स्थिरांक (Mathematical constant) खः। थुकियात युलरयागु ल्याः (Euler's number) वा नेपियरयागु स्थिरांक (Napier's constant) धकाः नं म्हसीकेगु या। थ्व प्राकृतिक लगारिदम (Natural logarithm) यागु आधार (Base) खः।

थ्व छगू अपरिमेय ल्याः (Irrational number) जूगुलिं थुकियात निगु पूर्ण ल्याःयागु अनुपातया (Ratio) रुपय् च्वये फइ मखु। थुकिया दशमलव मान अल्याख तक न्ह्याः वनी तर गबलें दोहोरे जुइ मखु। थुकिया मान करिब २.७१८२८ (2.71828) दु।

इतिहास

स्कटल्याण्डया गणितज्ञ जोन नेपियर (John Napier) नं सन् १६१८ य् थःगु लगारिदम (Logarithm) सम्बन्धी सफू पिथंगु इलय् थ्व स्थिरांकया बारेय् न्हापांखुसी अप्रत्यक्ष रुपं चर्चा यानादीगु खः।

तर, थ्व ल्याःयात वास्तविक रुपं म्हसीकेगु व थुकिया महत्त्व थुइकेगु ज्या धाःसा जेकब बर्नोली (Jacob Bernoulli) नं सन् १६८३ य् यानादीगु खः। वय्कलं चक्रवृद्धि ब्याज (Compound interest) यागु समस्या हल यायेगु झ्वलय् थ्व स्थिरांक लुइकादिल।

सन् १७३१ य् स्विस गणितज्ञ लियोनार्ड युलर (Leonhard Euler) नं थ्व स्थिरांकयात "e" धकाः नां बियादिल। वय्कःयागु हे सम्मानय् थुकियात "युलरयागु ल्याः" धाइ।

परिभाषा

गणितय् e यात थीथी कथं परिभाषित याये छिं। दकलय् अप्व छ्यलीगु परिभाषात थ्व कथं दु:

१. सीमा (Limit) यागु रुपय्: गबले $n$ अल्याख (Infinity) पाखे वनी, अबलय् $(1+1/n)^{n}$ यागु मान e जुइ।

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

२. अल्याख झ्वः (Infinite Series) यागु रुपय्: e यात फ्याक्टोरियल (Factorial) यागु योगफलया रुपय् नं क्यने छिं:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots$

$e=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+\cdots \approx 2.71828$

गुण

e यागु गणितय् तःधंगु महत्त्व दु। थुकिया छुं मू गुणत थुकथं दु:

• क्यालकुलस (Calculus): फङ्क्सन $e^{x}$ गणितया छगू जक अज्याःगु फङ्क्सन खः गुकिया डेरिभेटिभ (Derivative) व इन्टिग्रल (Integral) उगु हे फङ्क्सन जुइ।
• युलरयागु सूत्र (Euler's Identity): गणितया दकलय् बांलाःगु सूत्र धकाः म्हसीकूगु युलरयागु सूत्रय् e यात थथे छ्यलातःगु दु:

$e^{i\pi }+1=0$

थ्व सूत्रय् गणितया न्यागु मू स्थिरांकत ($e$, $i$, $\pi$, 1, व 0) दुथ्याः।

छ्येला

e यागु छ्यला गणितय् जक मखुसें विज्ञान, अर्थशास्त्र, व इन्जिनियरिङय् नं जुइ।

• ब्याज गणना: निरन्तर चक्रवृद्धि ब्याज (Continuously compounded interest) लिकायेगु निंतिं थ्व अति आवश्यक जुइ।
• जनसंख्या वृद्धि: छुं नं चीजयागु वृद्धि वा ह्रास (Growth or Decay) यागु अध्ययन यायेत थुकिया प्रयोग जुइ। दसु: ब्याक्टेरियायागु वृद्धि वा रेडियोधर्मी पदार्थयागु क्षय।
• सम्भाव्यता (Probability): तथ्यांकशास्त्रय् (Statistics) सामान्य वितरण (Normal distribution) यागु अध्ययन यायेत e माः।