सम्भाव्यता

सम्भाव्यता (अङ्ग्रेजी: Probability) गणितया छगू कचा खः गुकिलि छुं नं घटना (Event) जुइ फइगु वा मफइगु "मौका" (Chance) यागु मापन जुइ। थुकिया मान ० (शून्य) निसें १ (छगू) या दथुइ दइ।

• ० (शून्य): थुकिया अर्थ घटना जुइगु "असम्भव" (Impossible) दु।
• १ (छि): थुकिया अर्थ घटना जुइगु "निश्चित" (Certain) दु।

दसुया निंतिं, यदि झीसं छ म्वः (Coin) ब्वयेका (Toss) स्वयेगु खःसा, उकी "हेड" (Head) वइगु सम्भाव्यता "बच्छि" (Half) वा $0.5$ दइ।

इतिहास

सम्भाव्यताया सिद्धान्तया विकास "जुवा" (Gambling) व "पासा" (Dice) यागु कासां सुरु जूगु खः।

• १६गु शताब्दी: इटालियन गणितज्ञ जिरोलामोर कार्डानो (Gerolamo Cardano) नं दकलय् न्हापां कासाया सम्भाव्यता बारे च्वयादीगु खः।
• १७गु शताब्दी: फ्रान्सेली गणितज्ञ ब्लेज पास्कल (Blaise Pascal) व पियरे द फर्मा (Pierre de Fermat) नं जू सम्बन्धी समस्या हल यायेगु झ्वलय् सम्भाव्यताया आधुनिक सिद्धान्तया जग तयादिल।
• आधुनिक काल: २०गु शताब्दीइ रसियन गणितज्ञ आन्द्रे कोल्मोगोरोभ (Andrey Kolmogorov) नं सम्भाव्यतायात "एक्जियोम" (Axioms) या आधारय् व्यवस्थित यानादिल।

मू खँग्वःत (Terminology)

सम्भाव्यता थुइकेत छुं मू खँग्वःत सयेके माः:

1. प्रयोग (Experiment): छुं नं ज्या गुकिया लिच्वः (Result) अनिश्चित दइ। दसु: म्वः ब्वयेकेगु, पासा (Dice) वांछ्वयेगु।
2. नमूना क्षेत्र (Sample Space, $S$): प्रयोग पाखें वये फइगु सकल सम्भावित लिच्वःतय्गु पुचः।
   • दसु: म्वः ब्वयेके बलय् $S=\{Head,Tail\}$
   • दसु: पासा वांछ्वये बलय् $S=\{1,2,3,4,5,6\}$
3. घटना (Event, $E$): नमूना क्षेत्रया छुं छगू वा अप्व लिच्वः। दसु: पासा वांछ्वये बलय् "जोर ल्याः" (Even number) वइगु घटना $E=\{2,4,6\}$ खः।

गणितीय सूत्र

यदि फुक्क लिच्वः वयेगु सम्भावना बराबर (Equally likely) दुसा, छुं नं घटना $E$ यागु सम्भाव्यता $P(E)$ थुकथं लिकाये छिं:

$P(E)={\frac {\text{यःगु लिच्वःया ल्याः (Number of favorable outcomes)}}{\text{कुल सम्भावित लिच्वःया ल्याः (Total number of outcomes)}}}$

दसु १: छगू पासा (Dice) वांछ्वये बलय् "३" (Three) वइगु सम्भाव्यता गुलि दु?

• कुल लिच्वः ($S$) = ६ ($\{1,2,3,4,5,6\}$)
• यःगु लिच्वः ($E$) = १ ("३" जक)
• सम्भाव्यता $P(3)={\frac {1}{6}}$

दसु २: छगू पासा वांछ्वये बलय् "जोर ल्याः" (२, ४, ६) वइगु सम्भाव्यता गुलि?

• यःगु लिच्वः = ३ ($\{2,4,6\}$)
• सम्भाव्यता $P(Even)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}=0.5$

सम्भाव्यताया नियमत

१. छुं नं घटनाया सम्भाव्यता ० व १ या दथुइ जुइ:

$0\leq P(E)\leq 1$

२. "पूरक घटना" (Complementary Event): घटना $E$ मजुइगु सम्भाव्यतायात $P({\text{not }}E)$ वा $P(E')$ धाइ।

$P(E)+P(E')=1$

$P(E')=1-P(E)$

३. "स्वतन्त्र घटना" (Independent Events): यदि निगु घटनाया लिच्वलं एक-आपसय् असर मलाकुसा, उकियात स्वतन्त्र घटना धाइ। (दसु: निकः म्वः ब्वयेकेगु)।

$P(A{\text{ and }}B)=P(A)\times P(B)$

छ्येलेज्या

सम्भाव्यताया छ्यला झीगु न्हिथंया जीवनय् व विज्ञानय् जुइ।

• मौसम पूर्वानुमान (Weather Forecasting): "कन्हय् वा वइगु सम्भावना ३०% दु" धयागु खँ सम्भाव्यताया आधारय् धाइगु खः।
• बीमा (Insurance): बीमा कम्पनी-तय्सं दुर्घटना जुइ फइगु सम्भावनाया ल्याःचाः यानाः हे "प्रिमियम" (Premium) तोके याइ।
• शेयर बजार (Stock Market): शेयरया भाः थहाँ वनी वा कुहाँ वनी धयागु विश्लेषण यायेत।
• विज्ञान (Science): क्वान्टम मेकानिक्स (Quantum mechanics) व जेनेटिक्स (Genetics) पूर्ण रुपं सम्भाव्यताय् आधारित दु।