ल्वाकःबुकः ल्याः

ल्वाकःबुकः ल्याः (अङ्ग्रेजी: Complex Number) धयागु गणितय् छगू अज्याःगु ल्याः खः गुकियात $a+bi$ यागु रुपय् प्वंके फइ। थन $a$ व $b$ वास्तविक ल्याः (Real numbers) खः व $i$ धयागु "काल्पनिक इकाई" (Imaginary unit) खः।

थ्व ल्याःयागु नि ब्व दइ:

1. वास्तविक ब्व (Real Part): $a$
2. काल्पनिक ब्व (Imaginary Part): $b$

"ल्वाकःबुकः" धयागु खँग्वःया अर्थ हे निगू वा अप्व चीजत "ल्वाकःज्याःगु" (Mixed) खः। थन वास्तविक ल्याः व काल्पनिक ल्याः ल्वाकःज्यानाः छगू हे ल्याः जुइगुलिं थुकियात "ल्वाकःबुकः ल्याः" धायेछिं। थ्व अवधारणां "ऋणात्मक ल्याः" (Negative number) यागु वर्गमूल (Square root) लिकायेगु समस्यायात हल याइ।

थुइका

ल्वाकःबुकः ल्याःयात $z$ आखलं चिं तयेगु या। यदि $z=a+bi$ खःसा:

• $a$ यात $Re(z)$ वा $\Re (z)$ (Real part) धाइ।
• $b$ यात $Im(z)$ वा $\Im (z)$ (Imaginary part) धाइ।
• $i$ यागु मान ${\sqrt {-1}}$ खः, वा $i^{2}=-1$।

ल्वाकःबुकः ल्याःतय्गु पुचः (Set) यात $\mathbb {C}$ चिं तयेगु या। सकल वास्तविक ल्याःत ल्वाकःबुकः ल्याः नं खः, छाय्धाःसा छुं नं वास्तविक ल्याः $a$ यात $a+0i$ यागु रुपय् च्वये फइ।

इतिहास

ल्वाकःबुकः ल्याःयागु विकास छगू ताःहाकःगु ऐतिहासिक प्रक्रिया खः।

• १६गु शताब्दी: इटालियन गणितज्ञ जिरोलामोर कार्डानो (Gerolamo Cardano) नं "क्युबिक समीकरण" (Cubic equations) हल यायेगु झ्वलय् न्हापांखुसी ऋणात्मक ल्याःयागु वर्गमूलयागु आवश्यकता म्हसीकादीगु खः।
• राफेल बम्बेली (Rafael Bombelli): वय्कलं काल्पनिक ल्याःतय्गु तनेज्या-घटाउ यायेगु नियम दयेकादिल।
• रेने डेकार्ट (René Descartes): वय्कलं हे दकलय् न्हापां "काल्पनिक" (Imaginary) खँग्वः छ्यलादीगु खः।
• कार्ल फ्रेडरिक गाउस (Carl Friedrich Gauss): १९गु शताब्दीइ गाउस नं ल्वाकःबुकः ल्याःयात "ज्यामितीय रुपं" (Geometrically) क्यनेगु विधि विकास यानादिल, गुकिं थुकियात गणितया मू धारय् स्थापित यात।

ज्यामितीय निरूपण (Argand Plane)

ल्वाकःबुकः ल्याःयात छगू "भः" (Plane) य् फुतिया रुपय् क्यने छिं, गुकियात "आर्गेन्ड प्लेन" (Argand Plane) धाइ।

• x-अक्ष (x-axis): थुकियात "वास्तविक अक्ष" (Real axis) धाइ।
• y-अक्ष (y-axis): थुकियात "काल्पनिक अक्ष" (Imaginary axis) धाइ।

दसु: ल्वाकःबुकः ल्याः $3+4i$ यात थ्व प्लेनय् $(3,4)$ फुतिइ क्यने छिं।

ध्रुवीय रुप (Polar Form)

ल्वाकःबुकः ल्याःयात "पोलार कोअर्डिनेट" (Polar coordinates) य् नं प्वंके छिं। यदि $z=x+iy$ खःसा:

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

थन:

• $r$ धयागु "मापांक" (Modulus) वा $|z|$ खः, गुगु मूफुति (Origin) निसें उगु फुति तकया हाकः खः। $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$।
• $\theta$ धयागु "कोणांक" (Argument) खः, गुगु धाथेंया अक्ष (Real axis) नाप दयेकूगु कुं खः।

युलरयागु सूत्र (Euler's formula) कथं, थुकियात अझ चिहाकःक थुकथं च्वये छिं:

$z=re^{i\theta }$

गणितीय ज्या(Operations)

निगु ल्वाकःबुकः ल्याः $z_{1}=a+bi$ व $z_{2}=c+di$ यागु दथुइ थुकथंया स्वापू जुइ:

• तनेज्या(Addition):

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

(वास्तविक भाग नाप वास्तविक, व काल्पनिक नाप काल्पनिक तनेगु ज्या)

• गुणा (Multiplication):

$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^{2}$

गन $i^{2}=-1$ जुइ, उकिं:

$=(ac-bd)+(ad+bc)i$

छ्येलेज्या

ल्वाकःबुकः ल्याःयागु छ्यला शुद्ध गणितय् जक मखुसें विज्ञान व इन्जिनियरिङय् नं व्यापक रुपं जुइ।

• विद्युत इन्जिनियरिङ (Electrical Engineering): "अल्तरनेत करेन्त बाहा" (AC circuits) यागु विश्लेषण यायेत भोल्टेज व करेन्टयात ल्वाकःबुकः ल्याःया रुपय् क्यनी।
• क्वान्टम मेकानिक्स (Quantum Mechanics): कणतय्गु अवस्था (Wave function) वर्णन यायेत ल्वाकःबुकः ल्याः अनिवार्य जुइ।
• सिग्नल प्रोसेसिङ (Signal Processing): मोबाइल फोन, वाइफाइ, व अडियो टेक्नोलोजीइ "फुरियर ट्रान्सफर्म" (Fourier Transform) छ्यली, गुगु ल्वाकःबुकः ल्याःयागु आधारय् चले जुइ।