दाये (गणित)

अनौपचारिककथं, दायेगुया मोनोटोन जुइगु गुण दइ थुगु अर्थय् कि यदि $A$ थन $B,$या छगू उपपुचः खः धाःसा दापू $A$या दापू $B.$स्वयां म्ह्व बाय् बराबर जुइ। थ्वयां अप्वः, खालिगु सेटया दापू ० जुइमाः । दायेगु ज्याया छगू साधारण दसु धयागु आयतन (छुं बस्तुं गुलि तःधंगु थाय् काइ) खः ।

गणितय् दाये बाय् दायेगुया अवधारणा ज्यामितीय दाये ( हाकः, क्षेत्रफल, आयतन ) व मेमेगु सामान्य अवस्था, दसु परिमाण, द्रव्यमान, व घटनाया सम्भावनाया औपचारिक म्हसीकाया कुतः ख। थ्व बिस्कं थें खनेदुगु थीथी अवधारणाय् यक्व समानता दु व प्रायः छगू हे गणितीय सन्दर्भय् छथाय् तयाः व्यवहार यायेछिं। दायेगु सम्भाव्यता सिद्धान्त, एकीकरण सिद्धान्तय् आधारभूत अवधारणा ख व विद्युत चार्ज थें ऋणात्मक मात्रा ग्रहण यायेत नं सामान्यीकरण यायेछिं। दायेगुया मेमेगु ताःपाःगु सामान्यीकरण (दसु स्पेक्त्रल दाये व प्रक्षेपण-मू दाये ) क्वान्टम भौतिक विज्ञान व सामान्य रुपय् भौतिक विज्ञानय् व्यापक रुपं छ्येलिगु या।

थ्व अवधारणाया ल्यूनेया अन्तर्ज्ञान प्राचीन ग्रीसया ईया खः, गुबलय् आर्किमिडीजं छगू चाकःया क्षेत्रफलया ल्याखायेत स्वःगु खः। तर १९गु शताब्दीया अन्त व २०गु शताब्दीया सुरुइ जक दाये सिद्धान्त गणितया छगू कचा जुल। आधुनिक दाये सिद्धान्तया जग एमिल बोरेल, हेनरी लेबेग, निकोलाई लुजिन, जोहान रेडन, कन्स्ट्यान्टिन क्याराथियोडोरी, व मौरिस फ्रेचेट आदिया ज्यां दयेकूगु ख।

थुइके

दापूया ल्याः खाये ज्यूगु योगशीलता $\mu$ : दायेज्यूगु असम्बद्ध संघया दाये दक्वं उपपुचःया सकल ल्याया योग जुइ।

$X$ छगू सेट जुसा अले $\Sigma$ a छगू σ-अल्जेब्रा ओभर $X.$। $\Sigma$ नं न्ह्यथंगु विस्तारित वास्तविक ल्याःया ध्वःया छगू सेट फंक्सन $\mu$ यात दाये धाइ यदि क्वय् बियातःगु शर्तत पालना जुसा:

• गैर-नकारात्मकता : सकसितं $E\in \Sigma ,\ \ \mu (E)\geq 0.$
• $\mu (\varnothing )=0.$
• ल्याः खाये ज्यूगु योजकता (बाय् σ-योजकता ): दक्वं ल्याः खाये ज्यूगु मुनाज्याया निंतिं $\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ Σ य् जोडीकथं असम्बद्ध सेटया, $$\mu {\left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)}=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).$$

म्ह्व निं छगू सेट $E$ दुने सीमित दापू दुसा, आवश्यकता $\mu (\varnothing )=0$ ल्याः खाये ज्यूगु एडिटिभिटिया हुनिं थःथम्हं पूवनी : $$\mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),$$ अले उकिं $\mu (\varnothing )=0.$

यदि गैर-ऋणात्मकताया अवस्थायात त्वःतल धाःसा, अले $\mu$ अप्वः स्वया अप्वः$\pm \infty ,$दुनेया छगू ल्या काःसा, अले $\mu$ यात साइन्द मेजर वा चिं ल्याये धाइ ।

जोडी $(X,\Sigma )$ यात दाये ज्यूगु थाय् धाइ, अले $\Sigma$या दुजःतय्त दायेज्यूगु सेट धाइ।

छगू स्वंगूगु $(X,\Sigma ,\mu )$यात दाये थाय् धाइ । सम्भाव्यता दाये धयागु मुक्कं दाये ल्या १ दुगु मापन खः – व खः, $\mu (X)=1.$ सम्भाव्यता थाय् धयागु सम्भाव्यता दाये दुगु दायेज्या थाय् खः।

स्वयादिसँ

• गणित