त्रिगोनोमेत्रि

Hipparchus

In this right triangle: sin A = a/h; cos A = b/h; tan A = a/b.

Fig. 1a – Sine and cosine of an angle θ defined using the unit circle

त्रिगोनोमेत्रि, त्रिकोणमिति वा स्वकुंल्याखा ( प्राचीन ग्रीक τρίγωνον ( trígōnon ) 'त्रिभुज', व μέτρον ( métron ) 'माप') गणितया छगू कचा ख गुकियात स्वकुंया कुं व पक्ष हाकः दथुइ स्वापूया थीथी सीकेज्या जुइ। विशेष यानाः, त्रिकोणमितीय ज्याझ्वःत समान स्वकुंया कुंयात थुकिया पक्षया हाकःया अनुपातनाप स्वापूलि आधारित दु। थ्व ख्यःया उदय हेलेनिस्टिक हलिमय् ईसापूर्व ३गु शताब्दीइ ज्यामितिया छ्येलेज्यां खगोलीय अध्ययन तक्कया ख्यलय् जुल। ग्रीकतेसं कर्ड ल्याखायेत ध्यान केन्द्रित यात धाःसा भारतया गणितज्ञतेसं त्रिकोणमितीय अनुपात ( स्वकूंल्याखा ज्याझ्वः वा trigonometric function) दसु साइनया निंतिं दकलय् न्हापाया स्यूगु मात्रा धलः दयेकल ।

त्रिगोनोमेत्रि (अङ्ग्रेजी: Trigonometry) गणितया छगू कचा खः गुकिलि स्वकुं (Triangle) या कुं (Angle) व ब्व (Side) यागु दथुइ दुगु स्वापूयागु अध्ययन जुइ। थ्व खँग्वः ग्रीक भाषाया "ट्रिगोनोन" (trigōnon - त्रिकोण) व "मेट्रोन" (metron - मापन) खँग्वः स्वानाः दयावःगु खः।

थ्व ख्यःया ज्या त्रिगोनोमेत्रि जियोडेसी, सर्वेक्षण, आकाशीय यान्त्रिक, व नेभिगेसन थें न्याःगु क्षेत्रय् छ्येलातःगु दु। त्रिगोनोमेत्रिया मू आधार "ज्वःकुं स्वकुं" (Right-angled triangle) खः। थुकिया सिद्धान्तत खगोलशास्त्र, भूगोल, नेभिगेसन, व इन्जिनियरिङय् तसकं महत्त्वपूर्ण दु।

इतिहास

सुमेरियन खगोलशास्त्रीतसें चाकःयात ३६० डिग्रीइ ब्वथलाः कोण मापनया अध्ययन यात। इमिसं, व लिपा बेबिलोनियनतयेसं समान स्वकुंया पक्षया अनुपातया अध्ययन यात व थ्व अनुपातया छुं गुण लुइकल तर उकियात स्वकुंया पक्ष व कुं लुइकेगु छगू व्यवस्थित विधिइ हिलेमफुत। प्राचीन न्युबियनतसें नं अज्याःगु हे पहः छ्यःगु खः।

ईसापूर्व ३गु शताब्दीइ युक्लिड व आर्किमिडिज थें न्यापिं ग्रीक गणितज्ञतेसं कर्ड व चाकलय् दूगु कुंया गुणया अध्ययन यात व इमिसं आधुनिक त्रिकोणमितीय सूत्रनाप बराबर जुइगु प्रमेय प्रमाणित यात। यद्यपि इमिसं बीजगणितीय स्वया ज्यामितीय रुपय् न्ह्यब्वःगु ख। १४० ईसापूर्वय् हिप्पार्कसं कर्डया न्हापांगु धलः दयेकादिल। वय्कलं आधुनिक परिभाषाया साइनया परिभाषा त्रिकोणमिति व गोलाकार त्रिकोणमितिइ समस्या समाधान यायेत छ्येलादिल। ईस्वी २गु शताब्दीइ ग्रीक-मिस्री खगोलशास्त्री टलेमी (अलेक्जेन्ड्रिया, इजिप्टं) नं थःगु अल्माजेस्टया सफू १, अध्याय ११ य् विस्तृत त्रिकोणमिति धलः ( टलेमीया कर्डया धलः) दयेकादिल। टलेमीं थःगु त्रिकोणमितीय फङ्सनयात परिभाषित यायेत कर्ड लम्बाइ छ्यःगु ख, थ्व थौं झीसं छ्यलाच्वनागु साइन कन्भेन्सन स्वया छुं भचा पाः। (झीगु sin(θ) टलेमीया धलखय् ल्यःगु कुं वा angle of interest (२θ)या निदुगंया निंतिं कर्ड लम्बाइ स्वया, उकियात २ नं विभाजित याना लुइकेछिं।)। थ्व स्वया अप्व विस्तृत धलः दयेकेत यक्व समय माल। अतः, टलेमीया ग्रन्थ मध्यकालीन बैजन्टाइन, इस्लामिक, व, लिपा, पश्चिमी युरोपेली हलिमय् वइगु १२०० दँ तक्क खगोलशास्त्रय् त्रिकोणमितीय गणना यायेत छ्येलेज्याय् दयाच्वन।

साइनया आधुनिक परिभाषा दकलय् न्हापां सूर्य सिद्धान्तय् प्रमाणित जूगु दु, व थुकिया गुणत भारतीय गणितज्ञ व खगोलशास्त्री आर्यभट्टं ५गु शताब्दी (ई.)य् थप पुष्टि याःगु दु। थ्व ग्रीक व भारतीय कृतितेगु अनुवाद व विस्तार मध्यकालीन इस्लामिक गणितज्ञतेसं याःगु ख। ८३० ई.य् फारसी गणितज्ञ हबाश अल-हासिब अल-मारवाजीं कोटेन्जेन्टया न्हापांगु धलः दयेकल। ईस्वी १०गु शताब्दी तक्क फारसी गणितज्ञ अबु अल-वफा अल-बुजजानीया ज्याय् फुक्कं ६गु त्रिकोणमितीय फङ्सन छ्येलातःगु दु। अबु अल-वाफायाके ०.२५° वृद्धिइ साइन धलः दु, थुकिया सटिकता ८ दशमलव थासय्, व स्पर्शध्वःया पाय्छि धलः नं दु। वय्कलं गोलाकार त्रिकोणमितिइ नं महत्त्वपूर्ण आविष्कार यानादिल। फारसी बहुज्ञ नासिर अल-दीन अल-तुसीयात थःगु हे कथं गणितीय विषयया रुपय् त्रिकोणमितिया सर्जक धका वर्णन यानातःगु दु। वय्कलं दकलय् न्हापां त्रिकोणमितियात खगोलशास्त्र स्वया स्वतन्त्र गणितीय विषयया रुपय् व्यवहार यानादिल व वय्कलं गोलाकार त्रिकोणमितियात थःगु वर्तमान रुपय् विकास यानादिल। वय्कलं गोलाकार त्रिकोणमितिइ समकोणीय स्वकुंया ६गु विशिष्ट अवस्थाया धलः दयेकादिल व थःगु On the Sector Figure य् वय्कलं समतल व गोलाकार त्रिभुजया निंतिं साइनया नियम न्ह्यथनादिल, गोलाकार त्रिभुजया निंतिं स्पर्शध्वः नियम लुइकादिल, व थ्व निगुलिंया नियमया दसि बियादिल। त्रिकोणमितीय ज्या व विधिया ज्ञान टलेमीया ग्रीक अल्मागेस्टया ल्याटिन अनुवादया नापं फारसी व अरब खगोलशास्त्रीत दसु अल बट्टानी व नासिर अल-दीन अल-तुसीया ज्याया माध्यमं पश्चिमी युरोपय् थ्यन। उत्तरी युरोपेली गणितज्ञया त्रिकोणमितिया दकलय् न्हापांगु ज्याय् छगू १५गु शताब्दीया जर्मन गणितज्ञ रेजियोमोन्टानसया डी ट्राइएन्गुलिस ख। थ्व हे ईलय् अल्मागेस्टया मेगु अनुवाद ग्रीकं ल्याटिनय् क्रेटन जर्ज अफ ट्रेबिजोन्दं पूवंकल । १६गु शताब्दीया उत्तरी युरोपय् त्रिकोणमिति अझ नं थुलि म्हो जक ज्ञात दु कि निकोलस कोपरनिकसं थुकिया मू अवधारणायात व्याख्या यायेत De revolutionibus orbium coelestium या निगु अध्याय देछानादिल।

नेभिगेसनया माग व तःधंगु भौगोलिक क्षेत्रया पाय्छिगु नक्साया अप्वयाच्वंगु आवश्यकतां प्रेरित जुया त्रिकोणमिति गणितया छगू मू शाखाय् विकास जुल। बार्थोलोमियस पिटिस्कसं दकलय् न्हापां थ्व खँग्वः छ्येलादिल, वय्कलं सन् १५९५इ थःगु त्रिगोनोमेत्रिया (Trigonometria) पिथनादिल। जेम्मा फ्रिसियसं दकलय् न्हापां थौं नं सर्वेक्षणय् छ्येलिगु त्रिकोणया विधिया वर्णन यानादिल। लियोनहार्ड युलरं जटिल ल्याःयात त्रिकोणमितिइ पूवंक दुथ्याकादिल। १७गु शताब्दीइ स्कटल्याण्डया गणितज्ञ जेम्स ग्रेगरी व १८गु शताब्दीइ कोलिन म्याकलोरिनया ज्या त्रिकोणमितीय झ्वः विकासय् प्रभावशाली जुल। १८गु शताब्दीइ नं ब्रुक टेलरं सामान्य टेलर झ्वःयात परिभाषित यात।

त्रिगोनोमेत्रिया विकास प्राचीन सभ्यता नाप स्वानाच्वंगु दु। थुकिया छुं दसिंया सार थथे दु:

• इजिप्ट व बेबिलोन: प्राचीन इजिप्ट व बेबिलोनया गणितज्ञतय्सं स्वकुंया ब्वतय्गु अनुपात (Ratio)या खँ सीकेगु कुतः याःगु खः।
• ग्रीस: ई.पू. २गु शताब्दीइ ग्रीक गणितज्ञ हिप्पार्कस (Hipparchus) यात "त्रिकोणमितिया अबु" (Father of Trigonometry)या कथं हनि। वय्कलं दकलय् न्हापां "कर्ड टेबल" (Chord table) दयेकादिल, गुगु "साइन" (Sine) फङ्क्सनया न्हापांगु रुप खः।
• भारत: ५गु शताब्दीइ भारतीय गणितज्ञ आर्यभट नं "अर्ध-ज्या" (Half-chord) यागु अवधारणा हलादिल, गुकियात आः "साइन" (Sine) धाइ। अथे हे, "कोसाइन" (Cosine) व "भर्साइन" (Versine) यागु अवधारणा नं भारतं हे वःगु खः।
• इस्लामिक युग: मध्यकालय् अरबी व पर्सियन गणितज्ञतय्सं (गथेकि अल-ख्वारिज्मि, नसीर अल-दिन अल-तुसी) त्रिगोनोमेत्रियात खगोलशास्त्रं ब्यागलं यानाः स्वतन्त्र विषय दयेकल व ६ गू त्रिकोणमितीय फङ्क्सनया पूर्ण रुपं ब्याख्या यात।

मू ज्या (Trigonometric Functions)

ज्वःकुं स्वकुंया आधारय् त्रिगोनोमेत्रिया ६ गू मू फङ्क्सन (अनुपात) दु। यदि छगू ज्वःकुं स्वकुंय् छगू कुं $\theta$ (थीटा) दुसा:

1. साइन (Sine, $\sin$):

$\sin \theta ={\frac {\text{अःखः (Opposite)}}{\text{हाइपोतेन्युस(Hypotenuse)}}}$

1. कोसाइन (Cosine, $\cos$):

$\cos \theta ={\frac {\text{नापं(Adjacent)}}{\text{हाइपोतेन्युस(Hypotenuse)}}}$

1. ट्यान्जेन्ट (Tangent, $\tan$):

$\tan \theta ={\frac {\text{अःखः(Opposite)}}{\text{नापं (Adjacent)}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

थ्व स्वंगू मू फङ्क्सनया "उल्टो" (Reciprocal) फङ्क्सनत थुकथं दु:

• कोसेकेन्ट (Cosecant, $\csc$): साइनया अःखः ($1/\sin \theta$)
• सेकेन्ट (Secant, $\sec$): कोसाइनयाअःखः ($1/\cos \theta$)
• कोट्यान्जेन्ट (Cotangent, $\cot$): ट्यान्जेन्टया अःखः ($1/\tan \theta$)

एकांक चाकः (Unit Circle)

त्रिकोणमितीय फङ्क्सनतय्त परिभाषित यायेगु मेगु पहः "एकांक चाकः" (Unit Circle) खः। थ्व छगू अज्याःगु चाकः खः गुकिया अर्धव्यास (Radius) १ दइ। थुकिलि $0^{\circ }$ निसें $360^{\circ }$ (वा $2\pi$ रेडियन) तकया कुंया मान लिकाये छिं।

• x-अक्ष (x-coordinate) = $\cos \theta$
• y-अक्ष (y-coordinate) = $\sin \theta$

मू सुत्रत

त्रिकोणमितीय ल्याखायेत छुं आधारभूत सुत्रत (Identities) तसकं महत्त्वपूर्ण दु:

• पाइथागोरसया सुत्र:

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$

$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$

• तनेज्या व घटाउ सुत्र:

$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$

$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$

छ्येलेज्या

त्रिकोणमितिया प्रयोग गणितय् जक मखुसें विज्ञान व प्रविधिया थीथी ख्यलय् जुइ।

• खगोलशास्त्र (Astronomy): पृथ्वी निसें सूर्य, तिमिला, वा नगु (Stars) तकया हाकः मालेत।
• नेभिगेसन (Navigation): जहाज व विमानया लँपु व स्थिति म्हसीकेत। जीपीएस (GPS) प्रणालीइ त्रिकोणमितिया तःधंगु प्रयोग जुइ।
• इन्जिनियरिङ: तःतः धंगु छेँ, तां (Bridge), व लं दयेकेत।
• सः व जः: सः (Sound) व जः (Light) यागु "तरङ्ग" (Waves) यागु अध्ययन यायेत साइन व कोसाइन फङ्क्सन माः।

स्वयादिसँ

• गणित